求根公式法例题100道-求根公式习题集

求根公式法是解一元二次方程最通用、最直接的方法之一，其核心在于对标准形式方程ax²+bx+c=0 (a≠0) 直接套用公式x = [-b ± √(b²-4ac)] / (2a) 进行求解。该方法具有普适性，只要方程是一元二次形式，无论系数为整数、分数、小数乃至无理数，理论上均可应用。其解题过程逻辑清晰，步骤规范：首先将方程化为标准形式并准确识别系数a、b、c；其次计算判别式Δ=b²-4ac的值，此步骤至关重要，因为它直接决定了方程根的性质（Δ>0有两个不等实根，Δ=0有两个相等实根，Δ<0有一对共轭虚根）；然后根据判别式的结果代入公式进行计算；最后对结果进行必要的化简，包括对根号内数值的化简以及最终表达式的约分。

掌握求根公式法不仅是学习代数的基础要求，更是培养数学运算能力、逻辑思维能力和严谨科学态度的重要途径。在各类数学考试，包括校内测验、中考、高考乃至更高层次的学科能力测试中，求根公式法都是必考内容。其考查形式灵活多样，从直接求解到结合其他知识点（如函数、几何、实际应用问题）进行综合考查。通过大量有针对性的例题练习，考生能够深化对公式的理解，熟练计算技巧，提高运算准确率和速度，从而在面对复杂多变的题目时能够从容应对。易搜职考网提醒广大备考者，扎实掌握求根公式法，是构建数学知识体系、提升解题能力不可或缺的一环。

本部分旨在帮助初学者熟悉求根公式的基本步骤和流程，题目系数较为简单，侧重训练识别系数和准确计算。

• 例题1：解方程 x² + 5x + 6 = 0。解：a=1, b=5, c=6。Δ=5²-416=25-24=1>0。代入公式，x = [-5 ± √1] / (21) = (-5 ± 1)/2。得x₁= -2, x₂= -3。
• 例题2：解方程 2x² - 8x + 6 = 0。解：a=2, b=-8, c=6。Δ=(-8)²-426=64-48=16>0。x = [8 ± √16] / (22) = (8 ± 4)/4。得x₁= 3, x₂= 1。
• 例题3：解方程 x² - 6x + 9 = 0。解：a=1, b=-6, c=9。Δ=(-6)²-419=36-36=0。x = [6 ± √0] / 2 = 3。故方程有两个相等实根x₁=x₂=3。
• 例题4：解方程 x² + x + 1 = 0。解：a=1, b=1, c=1。Δ=1²-411=1-4=-3<0。方程无实根，有一对共轭虚根：x = [-1 ± √(-3)] / 2 = (-1 ± i√3)/2。
• 例题5：解方程 3x² + 7x - 6 = 0。解：a=3, b=7, c=-6。Δ=7²-43(-6)=49+72=121>0。x = [-7 ± √121] / 6 = (-7 ± 11)/6。得x₁= 2/3, x₂= -3。

（为节省篇幅，此处简述第6-20题思路，练习者可自行完整求解）

• 例题6-10：分别求解：x²-4x-5=0；2x²+3x-2=0；4x²-12x+9=0；x²+2x+5=0；-x²+2x+3=0（注意a为负号）。
• 例题11-15：系数含小数：0.5x²+1.5x-2=0；系数含分数：(1/2)x² + (2/3)x - 1 = 0（建议先化为整系数）。
• 例题16-20：需先移项化为标准形式：如2x² = 8 - 3x；x(x+1)=12等。

本部分题目系数复杂性增加，着重训练对判别式的分析和计算，以及结果化简能力。

• 例题21：解方程 √2 x² + 2√3 x + √8 = 0。解：a=√2, b=2√3, c=√8=2√2。Δ=(2√3)²-4√22√2=12 - 422=12-16=-4<0。虚根：x = [-2√3 ± 2i] / (2√2) = (-√6 ± i√2)/2。
• 例题25：解方程 (m-1)x² + 2mx + (m+3)=0，讨论m为何值时方程有实根。解：含有参数，需分析判别式Δ=(2m)²-4(m-1)(m+3)=4m²-4(m²+2m-3)=4m²-4m²-8m+12=12-8m。当Δ≥0，即12-8m≥0，m≤1.5时，方程有实根。注意m≠1保证为一元二次。
• 例题30：解方程 x² - (2a+b)x + (a²+ab)=0。解：a=1, b=-(2a+b), c=a²+ab。Δ=[-(2a+b)]²-41(a²+ab)=4a²+4ab+b²-4a²-4ab=b²。x = [2a+b ± √(b²)] / 2 = [2a+b ± |b|] / 2。需根据b的符号讨论。
• 例题35：不解方程，判断2x² - 3x - 7 = 0根的情况。解：计算Δ=(-3)²-42(-7)=9+56=65>0，故有两个不等实根。
• 例题40：已知方程x² + px + q = 0的两根之和为5，两根之积为3，求p, q并解方程。解：由韦达定理，-p=5, q=3，故p=-5, q=3。方程为x²-5x+3=0。Δ=25-12=13>0。x = [5 ± √13]/2。

（第41-50题侧重综合）

• 例题41-45：涉及较大数字计算：如123x²-456x+789=0（考验计算耐心）；判别式为完全平方数的快速求解。
• 例题46-50：结合几何意义：如已知三角形两边长为方程2x²-9x+4=0的两根，第三边长为3，判断三角形形状（需先解方程得边长，再利用勾股定理逆定理判断）。

本部分融入参数讨论和简单应用问题，提升分析能力和数学建模意识。

• 例题55：关于x的方程kx² + (2k+1)x + (k-1)=0有实根，求k的取值范围。解：当k=0时，方程为x-1=0，有一实根，符合。当k≠0时，Δ=(2k+1)²-4k(k-1)=4k²+4k+1-4k²+4k=8k+1≥0，得k≥-1/8且k≠0。综上，k≥-1/8。
• 例题60：某商品原价每件100元，经过两次降价后为81元，若每次降价的百分率相同，求该百分率。解：设每次降价的百分率为x。列方程：100(1-x)²=81。化为标准形式：(1-x)²=0.81，即x²-2x+0.19=0或更优解法直接开方。用求根公式：a=1, b=-2, c=0.19。Δ=4-0.76=3.24。x = [2 ± √3.24]/2 = [2 ± 1.8]/2。得x₁=1.9（舍去，大于1），x₂=0.1=10%。
• 例题65：一个直角三角形的两条直角边相差1cm，斜边长5cm，求两条直角边的长。解：设较短直角边为x cm，则另一条为(x+1)cm。由勾股定理：x²+(x+1)²=5²。化简：2x²+2x+1=25 -> 2x²+2x-24=0 -> x²+x-12=0。解之：Δ=1+48=49>0。x = [-1 ± 7]/2。取正根x=3。故两直角边为3cm和4cm。
• 例题70：已知方程x² - 4x + k = 0的一个根是2+√3，求k值及另一个根。解：可将已知根代入原方程求k，也可利用韦达定理。设另一根为α。由韦达定理：α+(2+√3)=4，故α=2-√3。k=α(2+√3)=(2-√3)(2+√3)=4-3=1。

（第71-80题拓展思维）

• 例题71-75：方程根为有理数、整数等条件下的参数求值问题；与绝对值、平方根非负性结合的问题。
• 例题76-80：简单的运动学、几何面积问题建模为二次方程求解。

本部分聚焦易错环节和具有一定技巧性的题目，旨在查漏补缺，提升解题的精准度和灵活性。

• 例题82：解方程 (x² - 5x)² - 36 = 0。解：可视为关于(x²-5x)的二次方程。设y=x²-5x，则原方程为y²-36=0，解得y=6或y=-6。即x²-5x=6或x²-5x=-6。分别解这两个一元二次方程：对于x²-5x-6=0，Δ=25+24=49，得x₁=6, x₂=-1；对于x²-5x+6=0，Δ=25-24=1，得x₃=3, x₄=2。故原方程有四个实根。
• 例题85：解方程 x⁴ - 13x² + 36 = 0。解：双二次方程。设y=x²≥0，则y²-13y+36=0。解得y=9或y=4。即x²=9或x²=4。故x=±3或x=±2。
• 例题88：易错题：解方程 3x² - 7x = 0。错误做法：a=3, b=-7, c=0，代入公式。正确简便做法：因式分解x(3x-7)=0，得x=0或x=7/3。但用求根公式亦可：Δ=49-0=49，x = [7 ± 7]/6，结果相同。此题提醒，能用因式分解法时更快捷。
• 例题90：易错题：解方程 (2x-1)² = 9(x+2)²。展开较繁琐。直接开方法：2x-1 = ±3(x+2)。分两种情况解两个一元一次方程即可，避免使用复杂的求根公式。
• 例题93：已知方程x² + ax + b = 0的两根之比为3:4，判别式Δ=8，求a, b。解：设两根为3k, 4k。由韦达定理：3k+4k=-a -> a=-7k；3k4k=b -> b=12k²。判别式Δ=a²-4b=8。代入：(-7k)²-412k²=49k²-48k²=k²=8。故k=±2√2。从而a=-7k = ∓14√2，b=12k²=128=96。
• 例题95：若α, β是方程x² - √5 x + 1 = 0的两根，求α² + β²的值。解：不必解出具体根。由韦达定理：α+β=√5，αβ=1。α²+β²=(α+β)²-2αβ=(√5)²-21=5-2=3。
• 例题98：关于x的方程(m²-4)x² + (2m-1)x + 1 = 0，当m为何值时，方程为一元二次方程？有实根？解：为一元二次方程需m²-4≠0，即m≠±2。有实根则在m≠±2前提下，Δ=(2m-1)²-4(m²-4)≥0，化简得-4m+17≥0，m≤17/4。综合考虑得m≤17/4且m≠±2。
  除了这些以外呢，当m=±2时为一元一次方程，也需单独考虑其根的情况。

（第99-100题作为综合收官）

• 例题99：在实数范围内解方程：x² + |x| - 6 = 0。解：需分类讨论。当x≥0时，方程为x²+x-6=0，解得x=2（舍去负根-3）。当x<0时，方程为x²-x-6=0，解得x=-2（舍去正根3）。故方程实根为x=2和x=-2。
• 例题100：已知关于x的二次方程x² + 2(m-1)x + m²-3 = 0有两个实根，且两根的平方和等于22，求m的值。解：设两根为x₁, x₂。由条件：Δ=4(m-1)²-4(m²-3)=4(m²-2m+1-m²+3)=4(-2m+4)=16-8m≥0，得m≤2。由韦达定理：x₁+x₂=-2(m-1)，x₁x₂=m²-3。x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=4(m-1)²-2(m²-3)=22。化简：4(m²-2m+1)-2m²+6=22 -> 2m²-8m+10=22 -> 2m²-8m-12=0 -> m²-4m-6=0。解此关于m的方程：Δ‘=16+24=40，m=[4 ± 2√10]/2=2 ± √10。结合m≤2的条件，取m=2 - √10。

通过以上从基础到高阶的百道例题的系统演练，学习者应能全面掌握求根公式法的适用情境、操作流程、细节要点以及与其它知识的关联。易搜职考网建议，在学习过程中，不仅要追求答案的正确，更要反思每道题所考察的核心概念和可能存在的变式，归结起来说各类题型的解题通法，并特别注意计算准确性和步骤规范性。持之以恒的练习与归结起来说，必将使求根公式法成为你解决数学问题的得力工具，为应对更复杂的数学挑战打下坚实的基础。数学能力的提升源于点滴积累和反复锤炼，希望这百道例题能成为你备考征程中的一块坚实基石。